Enunciado

Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r t = t i + 2 cos ⁡ t j + sin ⁡ t   k ,         t = 0

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = t i + 2 c o s ⁡ ( t )   j + s e n ( t )   k t = 0

O vetor posição em t = 0 é:

r 0 = 2   j

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t t   i + d d t 2 cos ⁡ t   j + d d t s e n t k

v t = 1   i - 2 s e n t j + cos ⁡ t k

Em t = 0 :

v 0 = 1   i + 1   k

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 1 2 + - 2 s e n t 2 + cos ⁡ t 2 → v t = 1 + 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

v t = 1 + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 3 s e n 2 ( t )

v t = 3 s e n 2 t + 2

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   - 2 cos ⁡ t j - s e n t   k

Em t = 0 :

a 0 =   - 2   j

Passo 5

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t ,     ( 1 ) y = 2 c o s ⁡ ( t ) → y 2 4 = cos 2 ⁡ ( t )     2 z = s e n t → z 2 = s e n 2 ( t ) ,     ( 3 )

Somando ( 2 ) e ( 3 ) :

y 2 4 + z 2 = s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) = 1

Então temos:

y 2 4 + z 2 = 1 x = 1

O gráfico dessa equação é:

Resposta

v t = 1   i - 2 s e n t j + cos ⁡ t k

v t = 3 s e n 2 t + 2

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   - 2 cos ⁡ t j - s e n t   k

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