Enunciado

Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r t = 3 cos ⁡ t i + 2 sin ⁡ t   j ;         t = π / 3

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = 3 cos ⁡ t i + 2 s e n t   j t = π 3

O vetor posição em t = π 3 é:

r π 3 = 3 2   i + 3   j

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t 3 c o s t   i + d d t 2 s e n t   j

v t = - 3 s e n t   i + 2 cos ⁡ t j

Em t = π 3 :

v π 3 = - 3 3 2   i + 1   j

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = - 3 s e n t 2 + 2 cos ⁡ t 2 → v t = 9 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ ( t )

v t = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t + 5 s e n 2 ( t ) →   v t = 5 s e n 2 t + 4

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = v ' t =   - 3 cos ⁡ t   i   - 2 s e n t   j

a π 3 =   - 3 2   i - 3   j

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = 3 c o s ⁡ ( t ) ,     ( 1 ) y = 2 s e n t ,     ( 2 )

Vamos reorganizar a equação:

x 3 = cos ⁡ t → x 2 9 = cos 2 ⁡ ( t ) y 2 = s e n t → y 2 4 = s e n 2 ( t )

Somando as 2 equações:

x 2 9 + y 2 4 = s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) = 1

Que é uma elipse!

O gráfico dela é:

Resposta

v t = - 3 s e n t   i + 2 cos ⁡ t j

v t = 5 s e n 2 t + 4

a t = v ' t =   - 3 cos ⁡ t   i   - 2 s e n t   j

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