Enunciado

Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = e t ( cos ⁡ t i + sin ⁡ t   j + t k )

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = e t cos ⁡ t i + e t s e n t   j + e t t   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t e t cos ⁡ t   i + d d t e t s e n t   j + d d t e t t   k >

v t = e t cos ⁡ t - e t s e n t   i + e t s e n t + e t cos ⁡ t     j + ( e t t + e t )   k

v t = e t cos ⁡ t - s e n t   i + e t s e n t + cos ⁡ t     j + ( e t t + 1 )   k

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = e t cos ⁡ t - s e n t 2 + e t s e n t + cos ⁡ t 2 + e t t + 1 2

v t = e 2 t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t - 2 s e n t cos ⁡ t + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 2 s e n t cos ⁡ t + t + 1 2

v t = e 2 t ( 1 + 1 + t + 1 2

v t = e t t 2 + 2 t + 3

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d d t e t cos ⁡ t - s e n t   i + d d t e t s e n t + cos ⁡ t j + d d t e t t + 1 k

a t = ( e t cos ⁡ t - s e n t + e t - s e n t - cos ⁡ t i + ( e t s e n t + cos ⁡ t + e t cos ⁡ t - s e n t   j + e t t + 1 + e t   k

a t = - 2 s e n t e t i + 2 cos ⁡ t e t j + e t t + 2 k

Resposta

v t = e t cos ⁡ t - s e n t   i + e t s e n t + cos ⁡ t     j + ( e t t + 1 )   k

v t = e t t 2 + 2 t + 3

a t = - 2 s e n t e t i + 2 cos ⁡ t e t j + e t t + 2 k

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