Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.4 - Ex. 5
- Escreva uma equação que defina a função exponencial com base
- Qual é o domínio dessa função?
- Se , qual a imagem dessa função?
- Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial nos seguintes casos.
-
(ii) (iii)
Passo 1
Beleza, então para a letra (a) queremos a equação que define a função exponencial de base Então queremos de forma que é a base e a variável é o expoente da potência:
É importante a gente perceber também que o exercício define que a base deve ser positiva porque, quando é uma fração, teremos uma raiz. Até aí não temos problema. A questão é que quando o denominador dessa fração for par, teremos uma raiz par (como a raiz quadrada), que não aceita números negativos. Então, para garantir que não vamos ter problema com isso, a base tem que ser positiva.
Passo 2
Agora, para a letra (b) queremos o domínio da função .
Nesse caso, a variável pode assumir qualquer valor entre os números reais. Se for uma fração, vai ser uma raiz. Exemplo:
Se for negativo, vamos ter uma inversão:
Se for não depende do valor de :
Então, o domínio é o conjunto dos reais mesmo.
Passo 3
Na letra (c) queremos a imagem de .
Para isso, lembra que a base é positiva? Então, não vai poder assumir valores negativos, sempre uma potência (ou raiz, se o expoente for uma fração) de um número positivo vai ser outro número positivo.
Como não existe número que elevado a outro dê zero, não pertence à imagem da .
A imagem é, então:
Passo 4
Por último, na letra (d), queremos a forma geral do gráfico. Isso quer dizer que vamos ter que esboçar, indicar apenas a forma, nada exato.
Para (i) , a função vai crescer muito rápido conforme vai aumentando. Quando , a função é
,
porque qualquer número elevado a zero é um.
Ou seja, independentemente do valor de , a função vai valer em .
O gráfico, então, fica assim:
Passo 5
Para (ii) , a função vai ser constante, pois
,
elevado a qualquer número é 1.
O gráfico, então, fica assim:
Passo 6
Para (iii) , é um número decimal, certo? Então quanto mais aumentamos o valor de , menor fica. Exemplo:
a função vai ser descrescente, e vai bater no quando , como vimos no passo 4.
O gráfico, então, fica assim:
Resposta
(a)
(b) Domínio: conjunto dos reais
(c) Imagem:
(d) (i) (ii) (iii)
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