Enunciado

  1. Escreva uma equação que defina a função exponencial com base a > 0 .
  2. Qual é o domínio dessa função?
  3. Se a ≠ 1 , qual a imagem dessa função?
  4. Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial nos seguintes casos.
  1. a > 1 (ii) a = 1 (iii)   0 < a < 1

Passo 1

Beleza, então para a letra (a) queremos a equação que define a função exponencial de base a > 0 . Então queremos f de forma que a é a base e a variável x é o expoente da potência:

f x = a x

É importante a gente perceber também que o exercício define que a base deve ser positiva porque, quando x é uma fração, teremos uma raiz. Até aí não temos problema. A questão é que quando o denominador dessa fração for par, teremos uma raiz par (como a raiz quadrada), que não aceita números negativos. Então, para garantir que não vamos ter problema com isso, a base tem que ser positiva.

Passo 2

Agora, para a letra (b) queremos o domínio da função f .

Nesse caso, a variável x pode assumir qualquer valor entre os números reais. Se x   for uma fração, f ( x ) vai ser uma raiz. Exemplo:

f 1 2 = a 1 2 = a

Se x for negativo, vamos ter uma inversão:

f - 1 = a - 1 = 1 a

Se x for 0 , f x não depende do valor de a :

f 0 = a 0 = 1

Então, o domínio é o conjunto dos reais mesmo.

Passo 3

Na letra (c) queremos a imagem de f .

Para isso, lembra que a base a é positiva? Então, f ( x ) não vai poder assumir valores negativos, sempre uma potência (ou raiz, se o expoente for uma fração) de um número positivo vai ser outro número positivo.

Como não existe número que elevado a outro dê zero, 0 não pertence à imagem da f .

A imagem é, então: ( 0 , ∞ )

Passo 4

Por último, na letra (d), queremos a forma geral do gráfico. Isso quer dizer que vamos ter que esboçar, indicar apenas a forma, nada exato.

Para (i) a > 1 , a função vai crescer muito rápido conforme x vai aumentando. Quando x = 0 , a função é

f 0 = a 0 = 1 ,

porque qualquer número elevado a zero é um.

Ou seja, independentemente do valor de a , a função vai valer 1 em x = 0 .

O gráfico, então, fica assim:

Passo 5

Para (ii) a = 1 , a função vai ser constante, pois

f x = 1 x = 1 ,

1   elevado a qualquer número é 1.

O gráfico, então, fica assim:

Passo 6

Para (iii) 0 < a < 1 , a é um número decimal, certo? Então quanto mais aumentamos o valor de x , menor f ( x ) fica. Exemplo:

0,1 1 = 0,1

0,1 2 = 0,01

a função vai ser descrescente, e vai bater no 1   quando x = 0 , como vimos no passo 4.

O gráfico, então, fica assim:

Resposta

(a)   f x = a x

(b) Domínio: conjunto dos reais

(c) Imagem: ( 0 , ∞ )

(d) (i) (ii) (iii)

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