Enunciado

A figura mostra uma viga de comprimento L embutida entre paredes de concreto. Se uma carga constante W for distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento, a viga assumirá a forma da curva de deflexão

y = - W 24 E I x 4 + W L 12 E I x 3 - W L 2 24 E I x 2

em que E e I são constantes positivas. ( E é o módulo de elasticidade de Young, e I é o momento de inércia da secção transversal da viga.) Esboce o gráfico da curva de deflexão.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos esboçar o gráfico da curva de deflexão. Para isso, utilizaremos os conceitos desse capítulo para auxiliar a esboçar o gráfico. Podemos simplificar a função da seguinte maneira

y = - W 24 E I x 4 + W L 12 E I x 3 - W L 2 24 E I x 2 = - W 24 E I x 2 x 2 - 2 L x + L 2 = - W 24 E I x 2 x - L 2 = c x 2 ( x - L ) 2

Onde c = - W 24 E I é uma constante negativa e 0 ≤ x ≤ L . Esboçando o gráfico da função temos,

f x = c x 2 x - L 2 Para c = - 1 . f 0 = f L = 0

Passo 2

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = c x 2 2 x - L + x - L 2 2 c x = 2 c x x - L x + x - L = 2 c x ( x - L ) ( 2 x - L )

Para 0 < x < L , temos f ' x > 0 ↔ x x - L 2 x - L < 0 d e s d e   q u e   c < 0 ↔ L 2 < x < L   e   f ' x < 0 ↔ 0 < x < L / 2 .

Passo 3

Dessa forma, cresce em L 2 , L e decresce em 0 , L 2   , e possui um Mínimo Local e Mínimo Absoluto no ponto L 2 , f L 2 = L 2 , c L 4 16 .

Derivando f ' ( x ) , temos

f ' ' x = 2 c 1 x - L 2 x - L + x 1 2 x - L + x x - L 2

2 c 6 x 2 - 6 L x + L 2 = 0 ↔ x = 6 L ± 12 L 2 12 = 1 2 L ± 3 6 L

Que são as coordenadas para os dois pontos de inflexão em x .

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = ln ⁡ ( s e nx )
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x - 3 x 1 3
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x e - 1 x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = a r c t ge x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = 2 x - x