Enunciado

Escreva ∫ ∫ R f x , y   d A como uma integral iterada, onde R é a região mostrada e f é uma função arbitrária contínua em R .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, vamos entender o que tá acontecendo aqui nessa questão e o que ela deseja da gente. Ela pede pra gente descrever a integral como uma integral iterada onde R é a região dada e f uma função qualquer. Então, como só precisamos escrever a integral sem resolver essa questão vai ser bastante rápida de ser resolvida, se liga aí pra não se perder. Em coordenadas cartesianas essa região fica complicada de ser descrita, no entanto, se passarmos para coordenadas polares vamos ter o seguinte

R = r , θ 2 ≤ r ≤ 4 ,   0 ≤ θ ≤ π }  

Ou seja, nosso raio vai de 2 a 4 e a variação de ângulo vai de 0 a π para poder pegar exatamente a região sombreada. Uma coisa que não podemos esquecer ao passar para a forma polar é de multiplicar pelo jacobiano que é r , dessa forma, nossa integral iterada vai ser escrita

da seguinte forma

∫ ∫ R f x , y   d A = ∫ 0 π ∫ 2 4   f r ⋅ c o s θ , r ⋅ s i n θ r   d r   d θ

Pronto, tá resolvido nosso problema. Falei que isso ser rápido?

Resposta

∫ 0 π ∫ 2 4   f r ⋅ c o s θ , r ⋅ s i n θ r   d r   d θ

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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y