Enunciado

Suponha que f seja contínua sobre um disco que contém o ponto ( a ,   b ) . Seja D r o disco fechado com centro em ( a ,   b ) e raio r . Utilize o Teorema do Valor Médio para as integrais duplas (veja o Exercício 52) para mostrar que

lim r → 0 ⁡ 1 π r 2 ⋅ ∫ ∫ D r f x , y   d A = f a , b

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bem com vocês? Então meus camaradinhas, como a questão é de demonstração vocês tem que prestar bastante atenção à todas as nuances para não se perderem, mas fiquem tranquilos que não é difícil não. Veja só para cada r tal que D r está dentro do domínio, nós teremos

A D r = π r 2

Além disso, pelo teorema do valor média para integrais duplas existe x r , y r em D r tal que

f x r , y r = 1 π r 2 ⋅ ∫ ∫ D r   f x , y   d A

Se liga agora no pulo do gato, temos que

lim r → 0 + ⁡ x r , y r = a , b

Então

lim r → 0 ⁡ 1 π r 2 ⋅ ∫ ∫ D r f x , y   d A lim r → 0 + ⁡ x r , y r = a , b = f a , b

Já que temos uma f contínua. Pronto, mostramos o que o exercício queria. Falei que não era difícil e só precisa prestar atenção?

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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