Enunciado

Escreva os primeiros termos das séries para encontrar a e r e calcule a soma das séries. A seguir, expresse a desigualdade   | r | < 1 em termos de x e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.

∑ n = 0 ∞ 3 x - 1 2 n

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente vamos relembrar a teoria de séries geométricas! Vem comigo.

As séries geométricas tem a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . A série pode ainda ser escrita como ∑ n = 0 ∞ a r n . A razão r pode ser positiva:

1 + 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 2 n - 1 + ⋯

com:

  • r = 1 / 2 ;
  • a = 1 .
  • Ou negativa:

    1 - 1 3 + 1 9 - ⋯ + - 1 3 n - 1 + ⋯

    onde:

  • r = - 1 / 3 ;
  • a = 1 .

Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Lembrando que, a fórmula a / ( 1 - r ) para a soma de uma série geométrica se aplica quando n = 1 na expressão ∑ n = 1 ∞ a r n - 1 (ou o índice n = 0 , escrevemos a série como ∑ n = 0 ∞ a r n ).

Passo 2

Sendo assim, com a seguinte série, conseguimos determinar os valores de a e r :

∑ n = 0 ∞ 3 x - 1 2 n

Onde:

r = x - 1 2

a = 3

Com estes valores conseguimos determinar o valor da soma da série:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ 3 x - 1 2 n = 3 1 - x - 1 2 = 3 2 - x + 1 2 = 6 3 - x

A série converge quando:

  r < 1

  x - 1 2 < 1

Então temos:

x - 1 2 = 1 → x = 3

- x - 1 2 = 1 → x = - 1

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

  • a = 3 ;
  • r = x - 1 2 ;
  • A série converge a 6 3 - x para x em ( - 1 ,   3 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.33- ∑ n = 1 ∞ 3 n n + 3 + 5 4 n
40- Expresse o número com uma razão de inteiros:5 . bar 6021
Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série paramostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série paramostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
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