Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 33
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
33-
Passo 1
A série pode ser escrita da seguinte forma:
Onde a segunda somatória é uma série geométrica onde o primeiro termo vale e a razão vale , logo o resultado dessa somatória será:
Passo 2
Já a primeira somatória nós poderemos descobrir a sua soma separando a sequência em frações parciais tais como:
Dessa forma:
Então podemos escrever a somatória como:
Agora vamos fazer a soma telescópica dessa somatória:
Note que só irão sobrar os termos e .
O que nos dará uma somatória igual a:
A soma telescópica é uma das mais difíceis de se ver, e ela deve ser vista sempre que tivermos a subtração de duas séries ou quando se dá para fazer a separação por frações parciais de uma fração, pois quase sempre um termo é positivo e outro é negativo.
Passo 3
Dessa forma o resultado da série será igual a:
Resposta
Série convergente para o valor de