Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

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∑ n = 1 ∞ 3 n n + 3 + 5 4 n

Passo 1

A série pode ser escrita da seguinte forma:

3 ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 3 + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 4 n

Onde a segunda somatória é uma série geométrica onde o primeiro termo vale 5 / 4 e a razão vale 1 / 4 , logo o resultado dessa somatória será:

a 1 = 5 × 1 4 1 = 5 4

S 2 = a 1 1 - q = 5 4 1 - 1 4 = 5 4 3 4 = 5 3

Passo 2

Já a primeira somatória nós poderemos descobrir a sua soma separando a sequência em frações parciais tais como:

1 n ( n + 3 ) = A n + B n + 3 = A n + 3 + B n n ( n + 3 ) = A + B n + 3 A n ( n + 3 )

Dessa forma:

3 A = 1 → A = 1 3

A + B = 0 → B = - A = - 1 3

Então podemos escrever a somatória como:

3 ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 3 n + 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 3

Agora vamos fazer a soma telescópica dessa somatória:

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 3 = 1 - 1 4 + 1 2 - 1 5 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 7 + 1 5 - 1 8 + …

Note que só irão sobrar os termos 1 , 1 2 e 1 3 .

O que nos dará uma somatória igual a:

S 1 = 1 + 1 2 + 1 3 = 11 6

A soma telescópica é uma das mais difíceis de se ver, e ela deve ser vista sempre que tivermos a subtração de duas séries ou quando se dá para fazer a separação por frações parciais de uma fração, pois quase sempre um termo é positivo e outro é negativo.

Passo 3

Dessa forma o resultado da série será igual a:

3 ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 3 + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 4 n = S 1 + S 2 = 11 6 + 5 3 = 11 × 3 + 5 × 6 6 × 3 = 63 18 = 3.5

Resposta

Série convergente para o valor de 3.5

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