Enunciado

Escreva os primeiros termos das séries para encontrar a e r e calcule a soma das séries. A seguir, expresse a desigualdade   | r | < 1 em termos de x e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 1 3 + s e n   x n

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente vamos relembrar a teoria para séries geométricas! Vem comigo.

As séries geométricas tem a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . A série pode ainda ser escrita como ∑ n = 0 ∞ a r n . A razão r pode ser positiva:

1 + 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 2 n - 1 + ⋯

com:

  • r = 1 / 2 ;
  • a = 1 .
  • Ou negativa:

    1 - 1 3 + 1 9 - ⋯ + - 1 3 n - 1 + ⋯

    onde:

  • r = - 1 / 3 ;
  • a = 1 .

Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Lembrando que, a fórmula a / ( 1 - r ) para a soma de uma série geométrica se aplica quando n = 1 na expressão ∑ n = 1 ∞ a r n - 1 (ou o índice n = 0 , escrevemos a série como ∑ n = 0 ∞ a r n ).

Passo 2

Sendo assim, com a seguinte série, conseguimos determinar os valores de a e r :

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 1 3 + s e n   x n

Onde:

a = 1 2

r = - 1 3 + s e n   x

Com estes valores conseguimos determinar o valor da soma da série:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 1 3 + s e n   x n = 1 2 3 - - 1 3 + s e n   x = 1 2 3 + 1 3 + s e n   x

= 1 2 3 ∙ 3 + s e n   x + 1 3 + s e n   x = 1 2 9 + 3 ∙ s e n   x + 1 3 + s e n   x = 1 2 ∙ 3 + s e n   x 10 + 3 ∙ s e n x

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 1 3 + s e n   x n = 3 + s e n   x 20 + 6 ∙ s e n x

Passo 3

A série converge quando:

  r < 1

1 - s e n   x - 3 < 1       o u       s e n   x + 3 > 1

Equações trigonométricas são igualdades que evolvem funções trigonométricas de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo s e n   x = a . Iremos considerar que x = a uma solução da equação s e n   x = a . As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco a ou ao arco π - a :

Onde:

  • x = a + 2 k π , com k   ∈   Z ;
  • x = π - a + 2 k π , com k   ∈   Z .

Com isso, conseguimos concluir que nosso valor de x é:

s e n   x + 3 > 1

Ou seja:

s e n   x + 3 ≠ 1

s e n   x ≠ - 2

Sendo assim, temos o seguinte:

x ≠ 2 π k - s e n - 1 ( 2 )

e

x ≠ 2 π k + π + s e n - 1 ( 2 )

Onde k é um número inteiro.

Resposta

  • a = 1 / 2 ;
  • r = - 1 3 + s e n   x ;
  • s n = 3 + s e n   x 20 + 6 ∙ s e n x ;
  • x ≠ 2 π k - s e n - 1 ( 2 ) ;

x ≠ 2 π k + π + s e n - 1 ( 2 ) .

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