Enunciado

Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas r, θ e z e depois supondo que a solução é simétrica em relação ao eixo dos z (não depende de θ), obtemos a equação

Supondo que u(r, z) = R(r)Z(z), mostre que R e Z satisfazem as equações

A equação para R é uma equação de Bessel de ordem zero com variável independente λr.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

u r r + 1 r   u r + u z z = 0

u r , z = R r Z z

u r r = R ' ' Z u r = R ' Z u z z = R Z ' '

R ' ' Z + 1 r R ' Z + R Z ' ' = 0

R ' ' R + 1 r R ' R = - Z ' ' Z = λ

Z ' ' + λ ² Z = 0

R ' ' R + 1 r R ' R = λ ²

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

r R ' ' + R ' + λ 2 r R = 0

Z ' ' - λ 2 Z = 0

Resposta

r R ' ' + R ' + λ 2 r R = 0

Z ' ' - λ 2 Z = 0

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