Enunciado

Esfera e cilindro Encontre o volume da região que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos uma região definida D fechada e limitada no espaço. Nosso objetivo é calcular o volume da região que está localizada dentro da esfera com equação x 2 + y 2 + z 2 = 2 e fora do cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 .

Passo 2

Como já sabemos o volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Precisamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Passo 3

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes. Sabemos que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Como x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,   r = 2

1 ≤ r ≤ 2

Em z teremos:

0 ≤ z ≤ 2 - r 2

E por fim:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Logo, com os limitantes definidos, podemos calcular o volume pedido:

V   = 8 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     ∫ 0 2 - r 2     d z r d r d θ   = 8 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 2     r 2 - r 2 d r d θ   = 8 ∫ 0 π / 2     - 1 3 2 - r 2 3 / 2 1 2 d θ   = ∫ 0 π / 2     d θ   = 4 π 3

Resposta

Por fim, concluímos que a região dentro da esfera e fora dos cilindros tem um volume de 4 π 3

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