Enunciado

Cilindro e superfície z = xy Encontre o volume da regiao no primeiro octante que esta entre os cilindros r = 1 e r = 2 e que esta delimitada inferiormente pelo plano xy e superiormente

pela superficie z = xy.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Então temos aqui que ele pede o volume do primeiro octante no cilindro sabendo que,

z = x y

r = 1

r = 2  

Com isso transformando para coordenadas polares (para quem não lebra muito bem dessa mudança eu sugiro da uma estudada no assunto de mudança de variáveis) vamos ficar com,

v = ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ∫ 0 r 2 s e n θ cos ⁡ θ d z   r   d r   d θ =   ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r 3 s i n θ cos ⁡ θ d r d θ

= ∫ 0 π / 2 r 4 4 1 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 15 4   ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 15 4   sin 2 ⁡ θ 2 0 π 2 = 15 8  

Resposta

15 8

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