Enunciado

Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delimitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide z = x2 + y2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Já sabemos que o volume de regiões D é definido pelo cálculo da integral tripla delimitado por superficies diversas. Neste exercício as regiões são definidas por uma esfera e um paraboloide.E qual é nosso objetivo? Queremos encontrar o volume delimitado na parte superior pela esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 2 e na parte inferior pelo paraboloide que possui equação z = x 2 + y 2 . Sabemos também que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.

Passo 2

Vamos neste passo definir os limitantes da integral. Primeiro temos que encontrar onde a esfera e o paraboloide se interceptam.Temos as equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z = x 2 + y 2  Logo:  z 2 + z - 2 = 0

A solução da equação é:

( z + 2 ) ( z - 1 ) = 0

Passo 3

Obtemos as raízes z = 1 e z = - 2 . Como queremos um valor onde z ≥ 0 , vamos considerar z = 1 e x 2 + y 2 = 1 Logo, o intervalo de r é definido como:

0 ≤ r ≤ 1

Para z teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z 2 = 2 - r 2

Dessa maneira:

r 2 ≤ z ≤ 2 - r 2

Por fim, teremos 0 ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Agora podemos escrever a integral tripla que representa o volume da região:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ∫ r 2 2 - r 2     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     r 2 - r 2 1 / 2 - r 3 d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     - 1 3 2 - r 2 3 / 2 - r 4 4 0 1 d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     2 2 3 - 7 12 d θ   = π ( 8 2 - 7 ) 6

Resposta

Por fim, concluímos que o volume desejado para a região neste exercício é igual a π ( 8 2 - 7 ) 6

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