Enunciado

Cilindro e paraboloide Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro

x2 + y2 = 1 e superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos calcular o volume de uma região delimitada da seguinte forma: inferiormente pelo plano z = 0 , lateralmente pelo cilindro com equação x 2 + y 2 = 1 e no topo pelo paraboloide com equação z = x 2 + y 2 .

Passo 2

Já sabemos que o volume para o sólido em coordenadas cilindricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Precisamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Passo 3

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes sabendo que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Como x 2 + y 2 = 1 , para r teremos:

0 ≤ r ≤ 1

Sabemos que z = 0 e z = x 2 + y 2 , logo em z teremos:

0 ≤ z ≤ r 2  E por fim:  0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Portanto a equação que representa o volume é:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ∫ 0 r 2     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     r 3 d r d θ   = ∫ 0 π / 2     d θ   = π 2

Resposta

Desta forma, concluímos que o resultado deste exercício é um volume igual a π 2 (unidades de volume).

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = - 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 - x = 0 e x^2 + y^2 + z^2 = 1 .
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é a região interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 e à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é delimitada por x^2 + y^2 = 1 , x^2 + y^2 = 4 , x^2 + y^2 + z^2 = 9 e z = 0