Enunciado

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Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ f

f x = x 2 - 1 ; g x = x - 1

Passo 1

Pra fazer a composição de duas funções não tem stress, é só seguir um passo a passo na tranquilidade:

  1. Identificar a composição que deve ser feita.
  2. Aplicar a função de “fora” na função de “dentro”. E temos a nossa função composta!
  3. Analisar o domínio considerando as raízes, os logaritmos, os quocientes, coisas desse tipo que possam restringir o nosso domínio.

A questão nos pede g ∘ f , que por definição é o mesmo que g ( f x ) . Daí já sabemos que g é a nossa função de fora e f é a nossa função de dentro!

Passo 2

Vamos substituir f na nossa composição:

g x 2 - 1

Agora vamos substituir essa raiz no x da g e temos a nossa função composta g ∘ f :

x 2 - 1 - 1

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só analisar o domínio para ambas as raízes. Vamos definir o domínio para cada uma delas e depois calcular a intersecção dos intervalos e teremos o intervalo que define o domínio da g ∘ f .

Para a raiz de dentro, precisamos que:

x 2 - 1 ≥ 0

Ou seja

x ≥ 1       o u       x ≤ - 1

Agora para a 2ª raiz:

x 2 - 1 - 1 ≥ 0

Simplificando:

x 2 - 1 ≥ 1

x 2 - 1 ≥ 1

x 2 ≥ 2

Ou seja:

x ≥ 2       o u       x ≤ - 2

Agora precisamos calcular a intercessão de ambos os conjuntos encontrados. Reescrevendo essa interseção em termos de conjuntos:

- ∞ , - 1   ∪     1 ,   + ∞   ∩     - ∞ ,   - 2   ∪     2 ,   + ∞

Ficamos com o conjunto resultante que define nosso domínio:

- ∞ ,   - 2   ∪     2 ,   + ∞

Podemos enxergar essa interseção mais facilmente na reta numérica:

- ∞ , - 1   ∪     1 ,   + ∞ na reta numérica:

- ∞ ,   - 2   ∪     2 ,   + ∞ na reta numérica:

Vemos que a interseção de ambos esses intervalos será igual ao intervalo de baixo!

Resposta

x 2 - 1 - 1

- ∞ ,   - 2   ∪     2 ,   + ∞

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