Enunciado

Estenda f ao intervalo (L, 2L] arbitrariamente, mas sujeita às condições de continuidade do Teorema 10.3.1. Depois estenda a função resultante a (−2L, 0) como uma função ímpar e ao resto da reta como periódica de período 4L (veja a Figura 10.4.6). Mostre que essa função tem uma série de Fourier em senos formada pelas funções sen(nπ x/2L), n = 1, 2, 3, . . . ; ou seja,

em que

Essa série converge para a função original em (0, L).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

g 4 L x =   - A ( - x ) - f ( - x ) f x A ( x )

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

g 4 L x = a 0 2 + ∑ a n cos ⁡ n π x 2 L + b n sin ⁡ n π x 2 L

a 0 = 0

a n = 0

b n = 1 L   ∫ g 4 L z sin ⁡ n π z 2 L d z

g 4 L x = ∑ b n sin ⁡ n π x 2 L

Resposta

b n = 1 L   ∫ g 4 L z sin ⁡ n π z 2 L d z

g 4 L x = ∑ b n sin ⁡ n π x 2 L

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Determine se a função dada é par, ímpar, ou nenhuma das duas. x 3
Em cada um dos problemas de 23 a 26:(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.(c) Faça o gráf
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32. Prove as propriedades 2 e 3 de funções pares e ímpares, como enunciadas no texto.