Enunciado

32. Prove as propriedades 2 e 3 de funções pares e ímpares, como enunciadas no texto.

Passo 1

Fala galera!!

Para provar a propriedade 2, vamos tomar as funções ímpares f 1  e f 2 . Então:

f 1 - x = - f 1 x

e

f 2 - x = - f 2 x

Passo 2

Uma parte da propriedade 2 diz o seguinte:

A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar.

Vamos considerar uma g 1 x . Temos que:

g 1 x = f 1 x + f 2 x

Temos então o seguinte:

g 1 - x = f 1 - x + f 2 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

g 1 - x = - f 1 x - f 2 x

g 1 - x = - f 1 x + f 2 x

g 1 - x = - g 1 x

Assim, está provado que a soma de duas funções ímpares é ímpar.

Passo 3

Fazendo para a diferença, temos:

g 2 x = f 1 x - f 2 x

Temos então o seguinte:

g 2 - x = f 1 - x - f 2 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

g 2 - x = - f 1 x + f 2 x

g 2 - x = - f 1 x - f 2 x

g 2 - x = - g 2 x

Assim, está provado que a diferença de duas funções ímpares é ímpar.

Passo 4

A outra parte da propriedade 2 diz o seguinte:

O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.

Vamos considerar uma h 1 x . Temos que:

h 1 x = f 1 x ⋅ f 2 x

Temos então o seguinte:

h 1 - x = f 1 - x ⋅ f 2 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

h 1 - x = - f 1 x ⋅ - f 2 x

h 1 - x = f 1 x ⋅ f 2 x

h 1 - x = h 1 x

Temos então que o produto de duas funções ímpares é par.

Passo 5

Fazendo para o quociente, temos:

h 2 x = f 1 x f 2 x

Temos então o seguinte:

h 2 - x = f 1 - x f 2 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

h 2 - x = - f 1 x - f 2 x

h 2 - x = f 1 x f 2 x

h 2 - x = j x

Temos então que o quociente de duas funções ímpares é par.

Passo 6

Agora, vamos provar a propriedade 3. Uma parte dela diz o seguinte:

A soma (diferença) de uma função ímpar e uma função par não é par nem ímpar

Vamos considerar uma r 1 x . Temos que:

r 1 x = f 1 x + g 1 x

Temos então o seguinte:

r 1 - x = f 1 - x + g 1 - x

Como f 1  é impar e g é uma funções par, então:

r 1 - x = - f 1 x + g 1 x

Temos que - f 1 x + g 1 x não é igual a  r 1 x nem a - r 1 x e, portanto, a soma de uma função ímpar e uma par não é nem par nem par.

Passo 7

Fazendo para a diferença, temos:

r 2 x = f 1 x - g 1 x

Temos então o seguinte:

r 2 - x = f 1 - x - g 1 - x

Como f 1  é impar e g é uma funções par, então:

r 2 - x = - f 1 x - g 1 x

Temos que - f 1 x + g 1 x não é igual a  r 1 x nem a - r 1 x e, portanto, a diferença de uma função ímpar e uma par não é nem par nem par.

Passo 8

A outra parte da propriedade 2 diz o seguinte:

O produto (quociente) de tais funções é ímpar.

Vamos considerar uma u 1 x . Temos que:

u 1 x = f 1 x ⋅ g 1 x

Temos então o seguinte:

u 1 - x = f 1 - x ⋅ g 1 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

u 1 - x = - f 1 x ⋅ g 1 x

u 1 - x = - f 1 x ⋅ g 1 x

u 1 - x = - u 1 x

Temos então que o produto de uma função ímpar e par é ímpar.

Passo 9

Fazendo para o quociente, temos:

u 2 x = f 1 x g 1 x

Temos então o seguinte:

u 2 - x = f 1 - x g 1 - x

Como f 1  e f 2 são funções impares, então:

u 2 - x = - f 1 x g 1 x

u 2 - x = - f 1 x g 1 x

u 2 - x = - u 2 x

Temos então que o quociente de uma função par e ímpar é ímpar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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