Enunciado

No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W ( t ) , e caribus, dada por C ( t ) , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações:

d C d t = a C - b C W             ;           d W d t = - c W + d C W

(a) Que valores de d C d t e d W d t correspondem às populações estáveis?

(b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”?

(c) Suponha que a = 0,05 , b = 0,001 , c = 0,05 e d = 0,0001 . Encontre todos os pares ( C , W ) que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em equilíbrio, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?

Passo 1

Vamos responder esse probleminha! Para a letra (a) fazemos uma analise simples: se as populações são estáveis, as taxas de crescimento não são positivas nem negativas; isso implica que

d C d t = 0 e d W d t = 0

Certo?! Vamos para a letra (b), como representamos a afirmação: “O caribu está se extinguindo.”?? Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de C = 0   .

Passo 2

Agora a nossa missão é encontrar todos os pares ( C , W ) que levam a populações estáveis, para isso, tendo os valores de a = 0,05 , b = 0,001 , c = 0,05 e d = 0,0001 , aplicamos nas equações

0 = 0,05 C - 0,001 C W            

0 = - 0,05 W + 0,0001 C W

Multiplicando a equação 2 por 10 para eliminar o termo C W , temos

0 = 0,05 C - 0,05 W         ∴         C = 10 W  

Substituindo na primeira equação:

0 = 0,05 10 W - 0,001 10 W W     ∴ 0,5   W - 0,01 W 2 = 0          

0,5   W - 0,01 W 2 = 0         ∴           W 0,01 W - 0,5 = 0

Achando o valor de W , temos que W = 0 ou W = 50 . Então, C = 10 50 = 500 ou C = 0 . Assim, os pares populacionais que levam a populações estáveis são ( 0,0 ) e ( 50,500 ) . Portanto, é possível que as duas espécies vivam em harmonia.

Finish!!

Resposta

  1. d C d t = 0 e d W d t = 0 ;
  2. Isso quer dizer que a população é zero ou matematicamente, o valor de C = 0 .
  3. Os pares populacionais que levam a populações estáveis são ( 0,0 ) e ( 50,500 ) . Portanto, é possível que as duas espécies vivam em harmonia.
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