Enunciado

Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um pequeno lago e removida regularmente. Um modelo para a taxa de variação da população é dado pela equação

d P d t = r 0 1 - P t P c P t - β P ( t )

Onde r 0 é a taxa de nascimento dos peixes, P c é a população máxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua capacidade de suporte) e β é a porcentagem da população que é recolhida.

(a) Qual o valor de d P d t que corresponde à população estável?

(b) Se o pequeno lago pode manter 10.000 peixes, a taxa de nascimento é 5% e a taxa de colheita, 4%, encontre o nível estável da população.

(c) O que acontece se β for aumentada para 5%?

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos responder esse probleminha! Para a letra (a) fazemos uma analise simples e calcular o valor de d P d t que corresponde à população estável:

d P d t = r 0 1 - P t P c P t - β P ( t )

Se as populações são estáveis, as taxas de crescimento não são positivas nem negativas; isso implica que :

d P d t = 0

Passo 2

Para encontrar o nível estável da população, fazemos:

Como d P d t = 0 ,

0 = r 0 1 - P t P c P t - β P ( t )

β P = r 0 1 - P P c P

Reorganizando os termos e eliminando P , temos:

β r 0 = 1 - P P c

1 - β r 0 = P P c          

    P c 1 - β r 0 = P  

Passo 3

Agora, se P c = 10000 , β = 4 % e r 0 = 5 % , logo

10000 1 - 0,04 0,05 = P

Portanto, P = 2000 .

Passo 4

E se o nosso valor de β for 5 % , utilizamos a equação anterior, logo,

10000 1 - 0,05 0,05 = P

O nível estável da população é P = 0 .

Prontinho!!

Resposta

(a)   d P d t = 0

(b) P   = 2000

(c) P = 0

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