Enunciado

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função:

T x ,   t = T o + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Onde ω = 2 π 365 e λ é uma constante positiva.

c) Mostre que T satisfaz a equação do calor T t = k T x x para uma certa constante k .

Passo 1

Então pessoal, antes de analisarmos se T satisfaz ou não a equação do calor dada pelo enunciado, vamos determinar essa derivada de segunda ordem T x x ,tudo bem? Decodificando essa notação:

T x x = ∂ ² T ∂ x ²

Derivando pela primeira vez:

T x = ∂ T ∂ x = T 1 e - λ x . - λ . s e n ω t - λ x + e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x . - λ

Aqui vale ressaltar que a regra utilizada para a derivação foi a regra do produto, tudo bem? Continuando, teremos:

∂ T ∂ x = - λ T 1 . e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

Derivando pela segunda vez:

T x x = ∂ 2 T ∂ x 2 = - λ T 1 . { e - λ x . - λ . s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

+ e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x . - λ - s e n ω t - λ x . - λ

Aqui vale ressaltar que também utilizamos apenas a regra do produto para realizar essa derivação, beleza? Só ficou grande por conta do tamanho da função mesmo. Simplificando:

∂ 2 T ∂ x 2 = 2 λ 2 T 1 e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x

Passo 2

Tudo bem, agora que determinamos T x x vamos ver se a equação do calor é satisfeita. De acordo com o enunciado:

T t = k T x x

Mas quem é T t ? Se liga:

T t = ∂ T ∂ t = T 1 e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x . ω

∂ T ∂ t = ω T 1 e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x

Substituindo na equação, teremos:

ω T 1 e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x = k . 2 λ 2 T 1 e - λ x . cos ⁡ ω t - λ x

Simplificando os termos semelhantes:

k . 2 λ 2 = ω

∴ k = ω 2 λ 2

Como ω e λ são constantes, então temos que k , de fato, é uma constante! Portanto T satisfaz a equação do calor T t = k T x x !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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