Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 100c
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura no instante (medido em dias) a uma profundidade (medida em metros) pode ser modelada pela função:
Onde e é uma constante positiva.
c) Mostre que satisfaz a equação do calor para uma certa constante .
Passo 1
Então pessoal, antes de analisarmos se satisfaz ou não a equação do calor dada pelo enunciado, vamos determinar essa derivada de segunda ordem ,tudo bem? Decodificando essa notação:
Derivando pela primeira vez:
Aqui vale ressaltar que a regra utilizada para a derivação foi a regra do produto, tudo bem? Continuando, teremos:
Derivando pela segunda vez:
Aqui vale ressaltar que também utilizamos apenas a regra do produto para realizar essa derivação, beleza? Só ficou grande por conta do tamanho da função mesmo. Simplificando:
Passo 2
Tudo bem, agora que determinamos vamos ver se a equação do calor é satisfeita. De acordo com o enunciado:
Mas quem é ? Se liga:
Substituindo na equação, teremos:
Simplificando os termos semelhantes:
Como e são constantes, então temos que , de fato, é uma constante! Portanto satisfaz a equação do calor !
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)