Enunciado

Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do gráfico de cada uma das funções obtidas na parte (a). (c) Faça um esboço gráfico da equação. (d) Ache a derivada de cada uma das funções obtidas na parte (a) e estabeleça seus domínios. (e) Ache d x d y por derivação implícita da equação dada e comprove que o resultado assim obtido está de acordo com a parte (d). (f) Ache uma equaçãi da reta tangente em cada valor dado de x 1 .

46. x 2 + 4 y 2 + 6 x - 40 y + 93 = 0 ; x 1 = - 2

Passo 1

Nesta questão, não tem muito o que extrair do enunciado, basta apenas reproduzir o que está sendo pedido em cada letra para chegar na resposta. Porém, devemos está atentos nas letras (d) e (e) onde são utilizado os conceitos de derivada e derivada implícita,respectivamente.

Na hora de resolver o item (d) deve – se atentar que Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Letra (a)

( y - 5 ) 2 = 4 . ( 1 - x + 3 2 16 )

y = 5   ± 1 2 . 16 - x + 3 2

f 1 x = 5 + 1 2 . 16 - x + 3 2     D o m í n o = x + 3 ≤ 4

f 2 x = 5 - 1 2 . 16 - x + 3 2         D o m í n o = x + 3 ≤ 4

Passo 3

Letra (b)

Gráfico de f 1 ( x )

Gráfico de f 2 ( x )

Passo 4

Letra (c)

Esboço do gráfico da equação

Passo 5

Letra (d)

A Derivada e o respectivo domínio de f 1 ´ x e f 2 ´ ( x ) é igual a

f 1 ´ x = - 1 2 . x + 3 16 - x + 3 2 ,     D o m í n i o =   x + 3 < 4

f 2 ´ x = 1 2 . x + 3 16 - x + 3 2     ,     D o m í n i o =   x + 3 < 4

Passo 6

Letra (e)

Encontrando dy/dx por derivação implícita temos

2 x d x d x + 8 y d y d x + 6 d y d x = 0

d y d x = - 2 x - 6 40 - 8 y

d y d x = - 2 ( x - 3 ) 8 ( 5 - y ) = - 1 4 ( x + 3 ) ( 5 - y )

S e   y   =   f 1 ( x ) = 5 + 1 2 . 16 - x + 3 2 , então d y d x = - 1 4 . x + 3 5 - y = - 1 4 . x + 3   5   - (   5 + 1 2 . 16 - x + 3 2 ) = f 1 ´ x

S e   y   = f 1 x = 5 - 1 2 . 16 - x + 3 2 , então d y d x = - 1 4 . x + 3 5 - y = - 1 4 . x + 3   5   - (   5 - 1 2 . 16 - x + 3 2 ) = f 2 ´ x

Passo 7

Letra (f)

Como sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é igual a a = f´ (x) = dy/dx e que reta tangente apresenta a seguinte equação : Y = ax + b , podemos encontrar qual é a reta tangente a curva dada no valor de x1.

Se x1 = -2 , então y = 5 ± 15 2 . Assim, aplicamos um dos valores de y na derivada obtida implicitamente para encontrar o valor de a no ponto.

a = - 1 4 . - 2 + 3 5 - 5 + 15 2 = 1 2 15 = 15 30

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

y = 15 30 . x + b

Passo 8

Substituindo o ponto na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

5 + 15 2 = 15 30 . ( - 2 ) + b

b = 150 + 17 15 30

Assim , a equeção de uma das retas tangentes à curva no ponto (-2,5 +   15 2 ) é

y = 1 30 . ( 15 x + 150 + 17 15 )

A outra equação da reta tangente pode ser obtida substituindo o outro valor de y na derivada obtida implicitamente e repetindo as mesmas etapas seguidas para encontrar a reta acima.

Resposta

(a) f 1 x = 5 + 1 2 . 16 - x + 3 2     D o m í n o = x + 3 ≤ 4

f 2 x = 5 - 1 2 . 16 - x + 3 2         D o m í n o = x + 3 ≤ 4

(b) gráfico

(c) gráfico

(d)

f 1 ´ x = - 1 2 . x + 3 16 - x + 3 2 ,     D o m í n i o =   x + 3 < 4

f 2 ´ x = 1 2 . x + 3 16 - x + 3 2     ,     D o m í n i o =   x + 3 < 4

(e) d y d x = - 2 ( x - 3 ) 8 ( 5 - y ) = - 1 4 ( x + 3 ) ( 5 - y )

(f)   y = 1 30 . ( 15 x + 150 + 17 15 )

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