Enunciado

Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do gráfico de cada uma das funções obtidas na parte (a). (c) Faça um esboço gráfico da equação. (d) Ache a derivada de cada uma das funções obtidas na parte (a) e estabeleça seus domínios. (e) Ache d x d y por derivação implícita da equação dada e comprove que o resultado assim obtido está de acordo com a parte (d). (f) Ache uma equaçãi da reta tangente em cada valor dado de x 1 .

45. x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 4 = 0 ; x 1 = 1

Passo 1

Nesta questão, não tem muito o que extrair do enunciado, basta apenas reproduzir o que está sendo pedido em cada letra para chegar na resposta. Porém, devemos está atentos nas letras (d) e (e) onde são utilizado os conceitos de derivada e derivada implícita,respectivamente.

Na hora de resolver o item (d) deve – se atentar que Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Letra (a)

( y - 2 ) 2 = 9 - x - 1 2

y = 2   ±   9 - x - 1 2

f 1 x = 2 +   9 - x - 1 2     D o m í n o = x - 1 ≤ 3

f 2 x = 2 -   9 - x - 1 2         D o m í n o = x - 1 ≤ 3

Passo 3

Letra (b)

Gráfico de f 1 ( x )

Gráfico de f 2 ( x )

Passo 4

Letra (c)

Esboço do gráfico da equação

Passo 5

Letra (d)

A Derivada e o respectivo domínio de f 1 ´ x e f 2 ´ ( x ) é igual a

f 1 ´ x = - x - 1 9 - x - 1 2 ,     D o m í n i o =   x - 1 < 3

f 2 ´ x = x - 1 9 - x - 1 2     ,     D o m í n i o =   x - 1 < 3

Passo 6

Letra (e)

Encontrando dy/dx por derivação implícita temos

2 x d x d x + 2 y d y d x - 2 d x d x - 4 d y d x = 0

d y d x = 2 - 2 x 2 y - 4

d y d x = 2 ( 1 - x ) 2 ( y - 2 ) = ( 1 - x ) ( y - 2 )

Se y = f 1 ( x ) = 2 +   9 - x - 1 2 , então d y d x = 1 -   x y - 2   = -   x - 1   2 +   9 - x - 1 2 - 2 = f 1 ´ x

Se y = f 2 x 2 -   9 - x - 1 2 , então d y d x = 1 -   x y - 2   = -   x - 1   2   -   9 - x - 1 2 - 2 = f 2 ´ x

Passo 7

Letra (f)

Como sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é igual a a = f´ (x) = dy/dx e que reta tangente apresenta a seguinte equação : Y = ax + b , podemos encontrar qual é a reta tangente a curva dada no valor de x1.

Se x1 = 1 , então y = 2 ±   3 . Assim, aplicamos um dos valores de y na derivada obtida implicitamente para encontrar o valor de a no ponto.

a = 0

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

y = b

Passo 8

Substituindo o ponto na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

2 + 3 = b

b = 5

Assim , a equeção de uma das retas tangentes à curva no ponto (1,5) é

y = 5

A outra equação da reta tangente pode ser obtida substituindo o outro valor de y na derivada obtida implicitamente e repetindo as mesmas etapas seguidas para encontrar a reta acima.

Resposta

(a) f 1 x = 2 +   9 - x - 1 2     D o m í n o = x - 1 ≤ 3

f 2 x = 2 -   9 - x - 1 2         D o m í n o = x - 1 ≤ 3

(b) gráfico

(c) gráfico

(d)

f 1 ´ x = - x - 1 9 - x - 1 2 ,     D o m í n i o =   x - 1 < 3

f 2 ´ x = x - 1 9 - x - 1 2     ,     D o m í n i o =   x - 1 < 3

(e)

(f)   y = 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os pontos a , b sobre a curva y = 4 x 3 + x 2 - 4 x - 1 tais que a reta tangente em a , b seja paralela ao eixo x .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. g x = 1 x 2 , no ponto de abscissa 1
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x = x 3 , no ponto de abscissa 8
Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f x = x 3 + 3 x e paralela à reta y = 6 x - 1 . Determine r .
Determine todos os pontos a , b de R 2 tais que por a , b passem duas retas tangentes ao gráfico de f x = x 2 .