7. Mesmo exercício que o anterior onde f_n, n >= 1 é dada por f_n(x) = n * x * e^(-n * x^2) .

Passo 1

Letra (a)

f x = lim n → ⁡ f n ( x ) = lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2 = 0

O esboço pedido por ser representado por:

Passo 2

Letra (b)

Seja x = 1 n   ∈ [ 0,1 ]

f n - f x = f n - f 1 n = n 1 n . e - n 1 n 2 = e - 1 n   e   lim n → ∞ ⁡ e - 1 / n = 1

Se f n → f uniformemente em 0,1 ,   dado 0 < ε < 1 , existiria n 0 tal que, para todo x   ∈ 0,1 ,   n > n 0 → f n x - f x < ε . Em particular, para x = 1 n ∈ [ 0,1 ] deveríamos ter

f n 1 n - f 1 n < ε .

Como lim n → ∞ ⁡ ( f n 1 n - f 1 n ) = 1 , então f n não converge uniformemente em 0,1 .

Passo 3

Letra (c)

Temos ∫ 0 1 ( lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2 ) d x = 0   e

lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 n x e - n x 2 d x = - 1 2 lim n → ∞ ⁡ e - n x 2 0 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 2 ( e - n - 1 ) = 1 2

Portanto,

∫ 0 1 ( lim n → ∞ ⁡ n x e - n x 2 ) d x ≠ lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 n x e - n x 2 d x

Resposta

  1. Figura
  2. Demonstração
  3. Demonstração
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