1. Resolva

u) dx / dt = a * x (x + 2) (a constante)

Passo 1

Utilizando o método de separação de variáveis podemos reescrever a EDO da seguinte forma:

(d x)/(a x ( x + 2 )) = d t

Integrando em ambos os lados, vem

int (d x)/(a x ( x + 2 )) = int d t

Passo 2

Sendo assim, nos resta resolver a integral do lado esquerdo da igualdade para eliminarmos grande parte do nosso problema, para isso:

int (d x)/(a x ( x + 2 )) = (1)/(a) int (d x)/(x ( x + 2 ))

Decompondo em frações parcias chegamos em:

(1)/(a) int ((1)/(2 x) - (1)/(2 (x + 2))) d x = (1)/(2 a) (ln x - ln (x + 2))

Voltando ao problema,

int (d x)/(a x ( x + 2 )) = int d t

(1)/(2 a) (ln x - ln (x + 2)) = t + c_1

ln (x)/(x + 2) = 2 a ( t + c_1 )

e^(ln (x)/(x + 2)) = e^(2 a (t + c_1))

(x)/(x + 2) = e^(2 a (t + c_1))

x = (x + 2) e^(2 a (t + c_1))

x = x e^(2 a (t + c_1)) + 2 e^(2 a (t + c_1))

x - x e^(2 a (t + c_1)) = 2 e^(2 a (t + c_1))

x (1 - e^(2 a (t + c_1))) = 2 e^(2 a (t + c_1))

x (t) = (2 e^(2 a (t + c_1)))/((1 - e^(2 a (t + c_1))))

Resposta

x (t) = (2 e^(2 a (t + c_1)))/((1 - e^(2 a (t + c_1))))

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