Enunciado

No exercício a seguir, ache a equação da hipérbole com as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Centro em (-5,2), um Vértice em (-1,2) e um foco em (0,2)

Passo 1

É importante nessa questão, a gente fazer alguns esboços durante as resoluções, vai nos dá um bom norte sobre as equações! Vamos colocar os pontos no eixo cartesiano. C para centro, A para vértice e F para foco.

De cara, da pra gente inferir o seguinte. O centro fica bem no meio dos vértices, portanto, a distância de um vértice para o centro, é a mesma distancia do outro vértice para o centro! Demais, não acha?

d   C   → A 2 =   4  

Portanto,

d   C → A 1 =   4

Logo,

A 1 = ( - 9 , 1 )

E já no embalo dos vértices, vamos descobrir a distância entre eles, que é somente multiplicar as distâncias até o centro por 2.

d   A 2 → A 1 = 8

Que é igual ao famoso 2a. Porque não tirar logo o valor do a?

2 a = 8 a = 4

Passo 2

Olhe só!! Temos o nosso primeiro valorzinho importante na equação, que é o a. Agora vamos atrás do valor de c, que está relacionado com o foco. A distancia de A2 para o nosso F2 é de 1, portanto laaaaa do outro lado, a distancia de A1 também é de 1:

d A 2 → F 2 = 1 = d A 1 → F 1

Portanto:

F 1 = ( - 10,1 )

E de quebra, já tiramos o valor de c, que corresponde a metade do valor da distancia entre os focos.

D F 1 → F 2 = 10 2 c = 10 c = 5

EEEEITA! Estamos quase lá! Está falando somente um valorzinho para irmos para o passo final: o valor de b. Para acha-lo, vamos para essa equação que está relacionada com a hipérbole:

c 2 = a 2 + b 2

5 2 = 4 2 + b 2

b 2 = 25 - 16 b = 9 = 3

Ah gente agora é so partir pro abraço né? Tá muuuito fácil!

Passo 3

Temos os valores de a,b e c!! Isso não dá uma emoção? Não sei pra vocês, mas para mim dá muita!

Vamos para o finalzinho. A equação canônica da hipérbole deslocada na origem e que seus focos estão paralelos ao eixo x é essa:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Em que Xc e Yc correspondem respectivamente as coordenadas x e y do centro da hibérbole. Pelas informações que a gente já tem, sabemos que o nosso centro fica na posição (-5,2). Portanto nosso Xc = -5 e nosso Yc = 2. Vamos montar a equação e nos livrar dessa questão? SIMBORA!

Organizando os dados: a = 4 , b =3 , Xc = -5, Yc = 2.

Logo, a nossa equação é:

x + 5 2 4 2 - y - 2 2 3 2 = 1

Fazendo o esboço, fica:

Resposta

x + 5 2 4 2 - y - 2 2 3 2 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o centro, focos, vértices, assíntotas e raio, conforme apropriado, das seções cônicas nos Exercícios 57-68. x 2 - y 2 - 2 x + 4 y = 4
Cabos de pontes suspensas pendurados em parábolas O cabo de ponte suspensa exibido na figura a seguir suporta uma carga uniforme de w libras por pé horizontal. Pode ser demonstrado que, se H é a tensã
Encontre o centro, focos, vértices, assíntotas e raio, conforme apropriado, das seções cônicas nos Exercícios 57-68. x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y = - 1
Encontre o centro, focos, vértices, assíntotas e raio, conforme apropriado, das seções cônicas nos Exercícios 57-68. x 2 + 5 y 2 + 4 x = 1
Encontre o centro, focos, vértices, assíntotas e raio, conforme apropriado, das seções cônicas nos Exercícios 57-68. 9 x 2 + 6 y 2 + 36 y = 0