Enunciado

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

7- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = 3 x , y = 6 e x = 0 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são

  1. Retângulos de perímetro 20

Passo 1

É bom fazermos um esboço da região que queremos, que pode ser vista abaixo:

Passo 2

Fala-se na questão que o retângulo transversal a figura tem perímetro de 20, logo precisamos encontrar sua altura para podermos calcular a área. Então calculando o perímetro p temos:

p = 2 × ( h + b )

Onde a base é ( 6 - 3 x )

20 = 2 × ( 6 - 3 x + h )

10 = 6 - 3 x + h

h = 4 + 3 x

Como temos agora a altura vamos calcular a área

A = ( 4 + 3 x ) ( 6 - 3 x )

A = 24 + 18 x - 12 x - 9 x 2

A = - 9 x 2 + 6 x + 24

Passo 3

Pela figura precisamos saber ver e saber calcular a variação de x , que vai de 0 a 2, e que integrando a área que acabamos de calcular ela vai nos fornecer o volume do sólido:

V = ∫ 0 2 - 9 x 2 + 6 x + 24 d x

V = - 9 x 3 3 + 6 x 2 2 + 24 x 0 2

Substituindo os valores encontramos:

V = - 3 × 2 3 + 3 × 2 2 + 24 × 2 - 0

V = 36

Resposta

V = 36

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