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Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

Passo 1

Seja f x = x - 4 2 x + 2 3 . Vejamos que as raízes da função são x = 4   e   x = - 2 .

Passo 2

Calculando f ' ( x ) utilizando a regra do produto, teremos:

u . v ' = u ' . v + u . v ' →

f ' x = 2 x - 4 x + 2 3 + x - 4 2 3 x + 2 2 = x - 4 x + 2 2 2 x + 2 + 3 x - 4 →

f ' x = ( x - 4 ) ( x + 2 ) ² ( 5 x - 8 )

As raízes de f ' ( x ) serão x = { - 2 , 4 5 ,   4 } . Dessa maneira, teremos:

Passo 3

Calculando f ' ' x utilizando a regra do produto, teremos que:

f ' ' x = x + 2 2 5 x - 8 + x - 4 2 . x + 2 5 x - 8 + x - 4 x + 2 2 →

f ' ' x = x + 2 x + 2 5 x - 8 + 2 x - 4 5 x - 8 + x - 4 x + 2 →

f ' ' x = x + 2 5 x 2 + 2 x - 16 + 10 x 2 - 56 x + 64 + x 2 - 2 x - 8 →

f ' ' x = x + 2 16 x 2 - 56 x + 40

Para achar as raízes, pela Fórmula de Bhaskara, teremos:

Δ = b 2 - 4 a c → Δ = 56 2 - 4.16.40 = 3136 - 2560 → Δ = 576

Dessa forma, teremos que:

x = - b ± Δ 2 a = 56 ± 576 2.16 → x 1 = 56 + 24 32 = 2,5

e   x 2 =   56 - 24 32 = 1 .

Logo, temos que a inclinação das tangentes inflexionais serão f ' 1 = 81 ,     f - 2 = 0   e   f ' 2,5 = - 136,69 .

Passo 4

Passo 5

Com os dados acima coletados e alguns pontos calculados, teremos:

E os valores de máximo e mínimo relativos são, respectivamente, 268,74   q u a n d o   x = 1,6 e 0   q u a n d o   x = 4 .

Resposta

Os extremos relativos de f   s ã o : 268,74   ; 1,6 m á x i m o   e   ( 0,4 ) ( m í n i m o ) .

Os pontos de inflexão de f   s ã o : - 2,0 ; 1 ; 243 ; ( 2,5 ; 2,03 )

A função é crescente em x ∈ - ∞ , 1,6 ∪ 4 , + ∞ e decrescente em x ∈ ( 1,6 ; 4 ) .

O gráfico é côncavo para baixo em x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 1 ; 2,5 e côncavo para cima em x ∈ - 2 ; 1 ∪ 2,5 ; + ∞ .

A inclinação das tangentes inflexionais são f ' 1 = 81 ,   f - 2 = 0   e   f ' 2,5 = - 136,69 .

Gráfico:

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Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x...
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Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       - 1 ≤ x < 0 - x 2     ,       0 ≤ x ≤ 1 f   é contínua em x   =   0   ? f é derivável em x   =   0   ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2     ,   - 3 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f t = 1 t       ,   0 < 1 < t
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 3 - 2 x     ,   x ≤ 5
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 8 - 3 x     ,   x ≥ 1
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = e x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 4 - x 2                 s e - 2 ≤ x < 0 2 x - 1       s ...
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2     ,   - 2 ≤ x < 5