Enunciado

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

30. A região limitada do exercício 29; retângulos circunscritos.

Passo 1

A região do exercício 29 é:

A região e o i-ésimo retângulo cirucunscrito estão na figura. O intervalo fechado é [ 0 , 1 ] e a função é y = 3 x 4 . Sendo assim,

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

f x i = 3 0 + i 1 n ⏟ x i 4 = 3 i 4 n 4

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 i 4 n 4 1 n   = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 5 ∑ i = 1 n i 4

Passo 2

Agora vamos usar a fórmula do somatório e calcular o limite.

∑ i = 1 n i 4 ⏞ I = n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 5 n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30

A = lim n → + ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 6 n 3 n 3 + 9 n 2 n 3 + n n 3 - 1 n 3 10

A = ⁡ 1 + 0 6 + 0 + 0 - 0 10 = 6 10 = 3 5

Logo, a área é 3 5   u . a .

Resposta

A = 3 5   u . a

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