Enunciado

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Nos Exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

f x = x 2 x 2 - 9

Passo 1

É fácil e importante perceber que x = ± 3 são pontos que não pertencem ao domínio da função, pois esses valores de x anulam o denominador.

f ± 3 = 9 3 2 - 9 = 9 0

Impossível!

Passo 2

Vamos determinar as raízes reais da função f ( x ) :

f x = 0

x = 0

A função possui apenas uma raiz real.

Passo 3

Calcular f ' ( x ) :

f ' x = 2 x * x 2 - 9 - x 2 * 2 x x 2 - 9 2 = - 18 x x 2 - 9 2

Calculando as raízes reais de f ' ( x ) :

f ' x = - 18 x x 2 - 9 2 = 0

- 18 x = 0

x = 0

Passo 4

Calculando f ' ' x ,   teremos:

f ' ' x = - 18 * x 2 - 9 2 + 18 x * 2 x 2 - 9 * 2 x x 2 - 9 4 = 18 - 3 x 4 - 18 x 2 - 81 x 2 - 9 4

Calculando as raízes reais de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 8 - 3 x 4 - 18 x 2 - 81 x 2 - 9 4 = 0

- 3 x 4 - 18 x 2 - 81 = 0

Essa equação não possui raiz real, ou seja, não existe nenhum ponto no domínio de f ( x ) tal que a segunda derivada seja nula.

Passo 5

Vamos agora analisar cada um dos intervalos notáveis para estudar o sinal das funções f x , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) para determinar pontos de extremo relativo, inflexão, onde a função é crescente e onde o gráfico é côncavo para cima.

Passo 6

Passo 7

Determinando as assíntotas da função:

- Horizontal:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± k

lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = 1

Logo, a função f ( x ) tem uma assíntota horizontal em y = 1 .

- Vertical:

lim x → ± k ⁡ f x = ± ∞

lim x → 3 + ⁡ f x = + ∞

lim x → 3 - ⁡ f x = - ∞

lim x → - 3 + ⁡ f x = - ∞

lim x → - 3 - ⁡ f x = + ∞

Logo, a função f ( x ) possui duas assíntotas verticais, uma em x = 3 e outra em x = - 3 .

- Oblíqua:

lim x → ± ∞ ⁡ f x x = ± k

Como k = 0 , percebe-se que a função não possui assíntotas oblíquas.

Passo 8

Observação: como a função não possui pontos de inflexão, não é possível calcular a inclinação da tangente inflexional.

Passo 9

Perceba que, como zero é um máximo relativo e existem assíntotas horizontais em y = 1 quando x tende a ± ∞ , a imagem da função é:

f ∈ R | f ≤ 0   o u   f > 1

Resposta

Gráfico:

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Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co
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Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       -
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores