Enunciado

Nos Exercícios 1-4:

a. Determine f - 1 ( x ) .

b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 .

c. Calcule d f d x em x = a e d f - 1 d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 d x = 1 d f d x .

3. f x = 5 - 4 x ,   a = 1 2

Passo 1

a. Determinando f - 1 ( x ) , temos:

y = 5 - 4 x

4 x = 5 - y

x = 5 - y 4

Agora voltando as variáveis para o formato convencional, que é y = f ( x ) , teremos:

y = f - 1 x = 5 - x 4

Passo 2

b. Se esboçarmos o gráfico de f e f - 1 , teremos:

No qual f é a função verde, f - 1 é a função azul e a função pontilhada é y = x .

Passo 3

c. Calculando a derivada da função que nos foi cedida, teremos:

d f d x = 5 - 4 x '

∴ d f d x = - 4

De acordo com o George na seção 8, temos que:

d f - 1 d x = 1 f ' ( f - 1 x )

∴ d f - 1 d x = 1 - 4 = - 1 4

Dessa forma, fica provado que nesses pontos, de fato, d f - 1 d x = 1 d f d x é válido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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