Dada f x = ∫ 1 2 x d t 1 + t 4 , prove que f tem uma inversa e calcule f^(-1)'(0) .

Passo 1

Então galera, pode ser que você tenha tentado resolver do jeito que parece ser o certo, que é resolvendo aquela integral por algum método, depois descobrindo quanto vale a inversa, assim como sua derivada, e depois substituindo o ponto x = 0 . Esse pensamento não está errado, no entanto, o problema aparece para resolver aquela integral ali! É uma integral extremamente difícil de se resolver! Sendo assim, vamos utilizar outro raciocínio, ok? Um raciocínio bom é utilizarmos o teorema fundamental do cálculo, se liga!

Se chamarmos u = 2 x e utilizarmos a regra da cadeia, teremos:

f ' x = d d u ∫ 1 u d t 1 + t 4 . d u d x

f ' x = 1 1 + u 4 . 2 = 2 1 + 2 x 4

Passo 2

Se observarmos com cuidado a função que obtivemos no passo anterior, podemos concluir algumas coisas. A primeira coisa é que f ' é contínua, certo? Sendo assim, se f ' é contínua, então f também é. Ademais, podemos notar que f ' nunca será negativa, então f é crescente. Se isso ocorre, segundo os teoremas do capítulo 7 do Leithold, então f admite uma inversa. De acordo com o teorema 4 da seção 7.2 do Leithold, temos:

f - 1 d = 1 f ' c

No qual f c = d . Como a questão pede para que calculemos para d = 0 , então teremos o seguinte:

f c = 0

∫ 1 2 x d t 1 + t 4 = 0

Para isso dar zero, galera, isso implica que c = 1 2 , porque aí teríamos intervalos de integração iguais, o que faz com que uma integral dê zero! Sendo assim, temos:

f - 1 0 = 1 f ' 1 2

f - 1 0 = 1 2 1 + 2.1 2 4

∴ f - 1 0 = 2 2

Resposta

f - 1 0 = 2 2

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