Enunciado

Dada f (x) = int_1^(2 x) (d t)/(sqrt(1 + t^4)) , prove que f tem uma inversa e calcule (f^(- 1)) ' ( 0 ) .

Passo 1

Então galera, pode ser que você tenha tentado resolver do jeito que parece ser o certo, que é resolvendo aquela integral por algum método, depois descobrindo quanto vale a inversa, assim como sua derivada, e depois substituindo o ponto x = 0 . Esse pensamento não está errado, no entanto, o problema aparece para resolver aquela integral ali! É uma integral extremamente difícil de se resolver! Sendo assim, vamos utilizar outro raciocínio, ok? Um raciocínio bom é utilizarmos o teorema fundamental do cálculo, se liga!

Se chamarmos u = 2 x e utilizarmos a regra da cadeia, teremos:

f^' (x) = (d)/(d u) (int_1^u (d t)/(sqrt(1 + t^4))) . (d u)/(d x)

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 + u^4)) . 2 = (2)/(sqrt(1 + (2 x)^4))

Passo 2

Se observarmos com cuidado a função que obtivemos no passo anterior, podemos concluir algumas coisas. A primeira coisa é que f ' é contínua, certo? Sendo assim, se f ' é contínua, então f também é. Ademais, podemos notar que f ' nunca será negativa, então f é crescente. Se isso ocorre, segundo os teoremas do capítulo 7 do Leithold, então f admite uma inversa. De acordo com o teorema 4 da seção 7.2 do Leithold, temos:

(f^(- 1) (d)) = (1)/(f^' (c))

No qual f (c) = d . Como a questão pede para que calculemos para d = 0 , então teremos o seguinte:

f (c) = 0

int_1^(2 x) (d t)/(sqrt(1 + t^4)) = 0

Para isso dar zero, galera, isso implica que c = (1)/(2) , porque aí teríamos intervalos de integração iguais, o que faz com que uma integral dê zero! Sendo assim, temos:

(f^(- 1) (0)) = (1)/(f^' ((1)/(2)))

(f^(- 1) (0)) = (1)/((2)/(sqrt(1 + ((2.1)/(2))^4)))

:. (f^(- 1) (0)) = (sqrt(2))/(2)

Resposta

(f^(- 1) (0)) = (sqrt(2))/(2)

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