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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 7.4 - Ex. 32

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Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (32) ∫ ( 2 + l n 2 x ) x ( 1 - l n x ) d x

Passo 1

Da integral dada,

f x = ∫ ( 2 + l n 2 x ) x ( 1 - l n x ) d x = - ∫ ( 2 + l n 2 x ) x ( l n x - 1 ) Vamos usar a técnica da substituição de variáveis para calcalr essa integral. Seja u = ln ⁡ x - 1 → d u = d x x   e ln ⁡ x = u + 1 . Vamos agora reescrever a integral.

f u = - ∫ 2 + u + 1 2 u d u

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

f u = - ∫ 2 + u + 1 2 u d u

f u = - ∫ 2 + u 2 + 2 u + 1 u d u f u = - ∫ 2 u d u + ∫ u d u + ∫ 2 d u + ∫ 1 u d u f u = - 2 ln ⁡ u + u 2 + 2 u + l n u f x = - 2 ln ⁡ l n x - 1 + l n x - 1 2 + 2 l n x - 1 + ln ⁡ l n x - 1

Resposta

O resultado é:

∫ ( 2 + l n 2 x ) x ( 1 - l n x ) d x = - 2 ln ⁡ l n x - 1 + l n x - 1 2 + 2 l n x - 1 + ln ⁡ l n x - 1

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