Enunciado

Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (14) f x = x 4 - 4 x + 7 ; ( - ∞ , ∞ ) .

Passo 1

Vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função:

f ' x = 1 2 x 4 - 4 x + 7 - 1 2 4 x 3 - 4 f ' x = 2 x 3 - 2 x 4 - 4 x + 7 1 2

f ' ' x = 6 x 2 x 4 - 4 x + 7 1 2 - 1 2 2 x 3 - 2 x 4 - 4 x + 7 - 1 2 4 x 3 - 4 x 4 - 4 x + 7 1

Passo 2

A primeira derivada vai nos indicar se há pontos críticos na função. Vamos igualar a expressão encontrada no passo anterior.

2 x 3 - 2 x 4 - 4 x + 7 1 2 = 0

A expressão será igual a zero quando o denominador for igual a zero. Assim:

2 x 3 - 2 = 0 2 x 3 = 2 x 3 = 1 x = 1

O valor crítico é x = 1 .

Passo 3

Vamos avaliar os pontos críticos na segunda derivada para encontrarmos os pontos de mínimo ou máximo local.

  • Para x = 1

f ' ' 1 = 6 1 2 1 4 - 4 1 + 7 1 2 - 1 2 2 1 3 - 2 1 4 - 4 1 + 7 - 1 2 4 1 3 - 4 1 4 - 4 1 + 7 1 f ' ' 1 = 6 4 1 2 4 = 6 * 2 4 = 3

x = 1 é um mínimo local porque o valor da segunda derivada é positivo.

Passo 4

Avaliando na função os pontos extremos do nosso intervalo temos:

f x = x 4 ( 1 - 4 x 3 + 7 x 4 ) f - ∞ = ∞

f ∞ = ∞

Agora vamos olhar o ponto crítico na função.

f 1 = 1 4 - 4 1 + 7 = 4 f 1 = 2    

Como f 1 < f - ∞ ≤   f ( ∞ ) , temos aqui um mínimo absoluto.

Resposta

Portanto, o valor extremo de f ( x ) é:

x = 1   u m   m í n i m o   a b s o l u t o .

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