Responde Aí

Enunciado

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

d) h x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 6 x + 5

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta h ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta h ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

h ' x = x 2 + x - 6

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

x 2 + x - 6 = 0

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = - 1 + 1 2 - 4 . 1 . ( - 6 ) 2 . 1 = 4 2 = 2

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a = - 1 - 1 2 - 4 . 1 . ( - 6 ) 2 . 1 = - 6 2 = - 3

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

À direita de x = 2 temos que h ' x > 0 ;

À esquerda de x = 2 temos que h ' x < 0 ;

À direita de x = - 3 temos que h ' x < 0 ;

À esquerda de x = - 3 temos que h ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 3 ∪ 2 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 3 ,   2 ) .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função h de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

h x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 6 x + 5

h ' x = x 2 + x - 6

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

h ' x = x 2 + x - 6 = 0

Assim como vimos no passo 2 , esse resultado só é válido para x = 2 e x = - 3 . Sabendo disso, então esses valores de x são os pontos críticos da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos críticos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

h - 3 = 1 3 . - 3 3 + 1 2 . - 3 2 - 6 . - 3 + 5 = - 9 + 9 2 + 18 + 5 = 37 2

h 2 = 1 3 . 2 3 + 1 2 . 2 2 - 6.2 + 5 = 8 3 + 2 - 12 + 5 = - 7 3

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: - 3 , 37 2 ;

Mínimo da função: 2 ,   - 7 3 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 3 ∪ 2 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 3 ,   2 ) .

Máximo da função: - 3 , 37 2 ;

Mínimo da função: 2 ,   - 7 3 .

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