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Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

21. 4 x 2 + 4 x y + y 2 - 6 x + 12 y = 0

Passo 1

Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:

“Se ( x ,   y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - ,   y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:

i   x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

i i   x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α   e   y - = - x . s e n   α + y . cos ⁡ α "

No qual α pode ser determinado utilizando-se a seguinte expressão:

c o t g   2 α = A - C B  

Aqui vale ressaltar que A é o termo que acompanha x ² , B é o termo que acompanha x y e C é o termo que acompanha y ² em uma equação de cônica, que é dada da seguinte maneira:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Uma vez que esses conceitos estão claros pra gente, então podemos começar os trabalhos! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

4 x 2 + 4 x y + y 2 - 6 x + 12 y = 0

De ínicio, precisamos determinar cos ⁡ α e s e n   α , certo? Segundo a equação acima, temos que A = 4 , B = 4 e C = 1 . Sendo assim, temos:

c o t g   2 α = 4 - 1 4 = 3 4

Portanto:

cos ⁡ 2 α = 3 5

Utilizando as identidades trigonométricas, teremos:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 = 1 + 3 5 2 = 2 5 5

s e n   α = 1 - cos ⁡ 2 α 2 = 1 - 3 5 2 = 5 5

Agora que determinamos s e n   α e cos ⁡ α , substituindo nas equações após a rotação de eixo, teremos:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

x = 2 5 5 x - - 5 5 y -   e   y = 5 5 x - + 2 5 5 y -

Passo 3

Agora que encontramos as expressões para x e y pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação dada, se liga:

4 x 2 + 4 x y + y 2 - 6 x + 12 y = 0

4 . 2 5 5 x - - 5 5 y - 2 + 4 . 2 5 5 x - - 5 5 y - . 5 5 x - + 2 5 5 y - + 5 5 x - + 2 5 5 y - 2

- 6 . 2 5 5 x - - 5 5 y - + 12 . 5 5 x - + 2 5 5 y -

Abrindo esses produtos notáveis e simplificando o que for possível, teremos:

16 5 x - 2 - 16 5 x - y - + 4 5 y - 2 + 8 5 x - 2 + 12 5 x - y - - 8 5 y - 2 + 1 5 x - 2 + 4 5 x - y - + 4 5 y - 2 - 12 5 5 x - + 6 5 5 y -

+ 12 5 5 x - + 24 5 5 y - = 0

25 x - 2 + 30 5 y - = 0

Dividindo tudo por 5, teremos:

5 x - 2 + 6 5 y - = 0

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

5 x - 2 + 6 5 y - = 0

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