Lista de Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método dos Autovalores

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Classifique as seguintes cônicas degeneradas:

  1. x 2 - y 2 = 0
  2. 8 x 2 + 7 y 2 = 0
  3. x 2 + 3 y 2 + 7 = 0
  4. x 2 - 2 x y + y 2 = 0
  5. x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

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Seja l o lugar geométrica dos pontos P ( x ,   y ) do plano cujas coordenadas x e y satisfazem

x 2 + 2 3 x y - y 2 + 6 x = 0

  1. Identificar a cônica l
  2. Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam l à forma canônica
  3. Encontrar a excentricidade de l . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema O x y (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de l .

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Seja l a curva com equações paramétricas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2           e               y = 2 b t 1 - t 2

Determine l .

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Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = 4 x 2 - 4 x y + 7 y 2 + 12 x + 6 y - 9 = 0

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Determinar a equação retangular da curva cujas equações paramétricas são:

x = 2 + 3 tan ⁡ t           e               y = 1 + 4 sec ⁡ t

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Escreva as equações paramétricas das curvas a seguir:

a) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

b) x 2 4 + y 2 9 = 1

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Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = x 2 - 4 x y + 4 y 2 - 6 x + 12 y + 8 = 0

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Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

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Determinar os autovalores e os autovetores associados se:

A = 3 0 8 - 1

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Considere as afirmativas abaixo:

I – A equação 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 1 = 0 não possui solução.

I – A equação 3 x 2 - 4 x y + 3 y 2 + 5 = 0 não possui solução.

(a) Ambas são falsas.

(b) Ambas são verdadeiras.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é falsa e II é verdadeira.

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Considere a cônica de equação

5 x 2 + 4 x y + 8 y 2 - 36 = 0

a) Efetue uma rotação de eixos que transforme o sistema x O y no sistema x ' O y ' de modo a obter uma equação sem o termo misto.

b) Identifique a cônica e faça um esboço do gráfico.

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Identifique e esboce, no plano x O y , a cônica de equação

4 x 2 - 12 x y + 9 y 2 - 36 = 0

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