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Exercícios Resolvidos de Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold - 4.9 - 30

Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3).

3 t g 2 x + 4 sec 2 ⁡ y = 1

Passo 1

Vamos usar derivação termo a termo ou derivação implícita, já que não temos y = f ( x ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x , já que queremos d y d x :

d 3 t g 2 x d x + d 4 sec 2 ⁡ y d x = d 1 d x = 0

Passo 3

Precisamos derivar o primeiro termo. Para isso, primeiramente vamos usar a regra da cadeia, veja:

d 3 t g 2 x d x = d 3 t g 2 x d t g x   d t g x d x = 6 t g x d t g x d x

Lembre-se que t g x = s e n x c o s x , então vamos usar a regra do quociente para derivar t g ( x ) :

d t g x d x = d s e n x c o s x d x = c o s x c o s x - s e n x - s e n x cos 2 ⁡ x = s e n 2 x + cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x  

Dessa maneira:

d 3 t g 2 x d x = 6 t g x sec 2 ⁡ x  

Passo 4

Para derivar o segundo termo vamos usar a regra da cadeia novamente:

d 4 sec 2 ⁡ y d x = d 4 sec 2 ⁡ y d s e c   y d sec ⁡ y d x = 8 sec ⁡ y d sec ⁡ y d x

Usando novamente a regra da cadeia:

d sec ⁡ y d x = d sec ⁡ y d y d y d x

Mas lembre-se que:

sec ⁡ y = 1 c o s y

Usando a regra do quociente, vem:

d sec ⁡ y d y = d 1 c o s y d y = 0 ∙ c o s y - 1 - s e n y cos 2 ⁡ y = s e n y cos 2 ⁡ y  

Ou seja:

d 4 sec 2 ⁡ y d x = 8 sec ⁡ y s e n y cos 2 ⁡ y d y d x = 8 sec 3 ⁡ y s e n   y d y d x

Passo 5

Por fim, temos que:

6 t g x sec 2 ⁡ x   + 8 sec 3 ⁡ y s e n   y d y d x = 0 ⇒ d y d x = - 3 4 t g x sec 2 ⁡ x sec 3 ⁡ y s e n y

Resposta

d y d x = - 3 4 t g x sec 2 ⁡ x sec 3 ⁡ y s e n y

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