Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 8 )   f x = x 8 - x ² 1 2  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = x 8 - x ² 1 2 = x 4 - x 1 2   4 + x 1 2

f ' x = ( 8 - x ² ) 1 2 - x ² 8 - x ² - 1 2  

f ' ' x = - x 8 - x 2 - 1 2 - 2 x 8 - x 2 - 1 2 - x 3 8 - x 2 - 3 2

Achando os pontos críticos:

f ' ( x ) = ( 8 - x ² ) 1 2 - x ² 8 - x ² - 1 2 = 0

x ' = 2                     x ' ' = - 2

Como a função não existe para x = 2 2   e   x = - 2 2 , este também é um ponto crítico. Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = - x 8 - x 2 - 1 2 - 2 x 8 - x 2 - 1 2 - x 3 8 - x 2 - 3 2 = 0

x ' = 0         x ' ' = 2 3                   x ' ' ' = - 2 3

É importante notarmos que a função não está definida para valores maiores 2 2 e menores que - 2 2 , sendo assim os pontos críticos são:

x ' = 0 ,   x ' ' = 2     e     x ' ' = - 2

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' - 2 > 0   e   f ' ' 2 < 0 ,   ou seja, ponto mínimo e máximo, respectivamente. Pela derivada primeira podemos chegar ao mesmo resultado, já que a função decresce ate -2 e cresce de (-2,2). Depois deste ponto ela decresce, indicando ponto máximo em 2. Para valores menores que 0 temos derivada segunda positiva, concavidade para cima, e negativa para valores maiores (concavidade para baixo).

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Máximo Relativo: x = 2 ;

Mínimo Relativo: x = - 2 ;

Ponto de inflexão: x = 0 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: - 2 2 < x < 0 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: 0 < x < 2 2 .

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