Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

10 )   f x = 1 5 x 5 - 2 3 x ³  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = 1 5 x 5 - 2 3 x 3

f ' ( x ) = x 4 - 2 x 2  

f ' ' x = 4 x ³ - 4 x

Achando os pontos críticos:

f ' ( x ) = x 4 - 2 x 2   = 0

x ' = 0                       x ' ' = 2                     x ' ' ' = - 2        

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = 4 x ³ - 4 x = 0

x ' = 0                                   x ' ' = 1                               x ' ' ' = - 1

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' - 2   < 0 indicando máximo relativo. Pela derivada primeira chegamos ao mesmo resultado, já que para valores menores que - 2 a função é crescente e decrescente para ( - 2 , -1). Já f ' ' 2   > 0 ,   indicando ponto mínimo. Pela derivada primeira, o gráfico está decrescendo no intervalo anterior aos pontos e crescendo para valores maiores. Para os pontos de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para baixo para valores menores que -1 e entre (0,1) e para cima no intervalo (-1,0) e valores maiores que 1, indicando que x = - 1 ,   x = 0   e   x = 1 são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = - 2 ;

Máximo Relativo: x = 2 ;

Pontos de inflexão   x = 0 , x = - 1   e   x = 1   ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x < - 1   e   0 < x < 1 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: - 1 < x < 0   e   x > 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:a) f x = 2 x + 5
Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.j) f x = c o s 2 x ,0 ,2 π
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:i) f x = 2 - 6 x
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:e) f t = t - 1 t + 1
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:h) h x = 1 x