Enunciado

Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

27 .     x 2 + 6 x + 4 y + 8 = 0

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique:

x 2 + 6 x =   - 4 y - 8

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo x no primeiro membro:

x 2 + 6 x + 9 - 9 =   - 4 y - 8

x 2 + 6 x + 9 =   - 4 y - 8 + 9

x + 3 2 = - 4 y + 1

x + 3 2 = - 4 y - 1 4

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

x + h 2 = - 4 p y - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   - 3 , 1 4

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

x - h 2 = 4 p y - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo y passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

x = - 3

O foco está em:

F = - 3 , 1 4 + p ⇒ 4 p = - 4 ⇒ p = - 1

F = - 3 , - 3 4

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo x. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

1 4 - p = 1 4 - - 1 = 5 4

y = 5 4

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   - 3 , 1 4

Foco:

F = - 3 , - 3 4

Equação do eixo:

x = - 3

Equação da diretriz:

y = 5 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.15) foco: F 0 ,- 1 4 ; diretriz d : 4 y - 1 = 0
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.12) foco: F ( 2 ,0 ) ; diretriz d : x + 2 = 0
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.7) x 2 - 10 y = 0
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.11) vértice: V ( 0 ,0 ) ; diretriz d : y = - 2
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.6) y 2 + 3 x = 0