Enunciado

Nos Exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo.

∫ π 6 π 3 1 - cos ⁡ α csc 2 ⁡ α d α

Passo 1

O primeiro passo é relembrar o segundo teorema fundamental do cálculo. Segundo ele:

Se

g ' x = f ( x )

Então

∫ b a f x d x = g a - g ( b )

Passo 2

Agora, vamos achar a função g ( x ) , ou seja, aquela cuja derivada resulta na função f ( x ) . Para isso, vamos resolver a integral indefinida:

g x = ∫ csc 2 ⁡ α - ( cot ⁡ α ) ( csc ⁡ α ) d x

Lembre-se da relação trigonométrica:

g x = tan 2 ⁡ 1 2 x + 1 = sec 2 ⁡ 1 2 x

Portanto, a integral pode ser reescrita:

g x = ∫ csc 2 ⁡ α d x - ∫ ( cot ⁡ α ) ( csc ⁡ α ) d x

Perceba que:

( csc ⁡ α ) ' = - ( cot ⁡ α ) ( csc ⁡ α )

E que:

( cot ⁡ α ) ' = - csc 2 ⁡ α

Então, prosseguindo com a integral:

g x = ∫ csc 2 ⁡ α d x - ∫ ( cot ⁡ α ) ( csc ⁡ α ) d x

g x = - cot ⁡ α + csc ⁡ α + C

Passo 3

Finalmente, basta substituir os valores do limite de integração na função obtida:

g x = - cot ⁡ α + csc ⁡ α + C

g π 3 - g π 6 = - 3 3 - 3 + 2 3 3 - 2

g π 3 - g π 6 = 4 3 3 - 2

Resposta

Logo, o resultado da integral definida é dada por:

∫ π 6 π 3 1 - cos ⁡ α csc 2 ⁡ α d α = 4 3 3 - 2

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Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = x 2 , a = 0 ,b = 1 e c = 1 .
Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 2 5 f ( x )d x
Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos