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Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

36. x 2 - 3 x y + 2 y 2 = 5 ,       ( 3 , 2 )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

x 2 - 3 x y + 2 y 2 = 5 ,       3 , 2

3 2 - 3 3 2 + 2 2 2 = 5

3 - 6 + 8 = 5

5 = 5

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

Regra do produto:

2 x - 3 y + x ( y ' )     + 4 y y ' = 0

4 y - 3 x y ' = 3 y - 2 x

y ' = 3 y - 2 x 4 y - 3 x

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 3 , 2 , vale:

y ' = 3 ( 2 ) - 2 3 4 ( 2 ) - 3 ( 3 )

y ' = 0

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 2 = 0 x - 3

y = 2

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum. Como a reta y = 2 está na horizontal a sua reta normal vai ser uma reta na vertical.

Logo, como essa reta passa pelo ponto 3 , 2 , sua função vai ser:

x = 3

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 2

b. x = 3

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