Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

x = 2 y - 1 ,       5 8 ≤ y ≤ 1 ;         e i x o   y

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que:

S = ∫ 5 8 1 2 π   2 y - 1 1 + 1 2 y - 1 2       d y = 2 π ∫ 5 8 1 2 y - 1 1 + 1 2 y - 1   d y =

= 2 π ∫ 5 8 1 2 y - 1 2 y 2 y - 1   d y = 2 π ∫ 5 8 1 2 y   d y = 2 π 2   ∫ 5 8 1 y 1 2   d y = 2 π 2 y 3 2 3 2 1 5 8 =

= 4 π 2 3 y 3 2 1 5 8  

Passo 2

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S = 4 π 2 3 y 3 2 1 5 8   = 4 π 2 3 1 3 2 - 5 8 3 2   = 4 π 2 3 1 - 5 8 3 = 4 π 2 3 1 - 5 8 × 5 2 2 =

= 4 π 2 3 16 2 - 5 5 16 2 = π 12 16 2 - 5 5

= 8 π 3 5 5 - 5 5 8 = 8 π 3 40 5 - 5 5 8 = 35 π 5 3

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

π 12 16 2 - 5 5

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Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = x 2 + 1 , 0 ≤ x ≤ 3
Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante
Se a região R { ( x , y ) | x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } é girada em torno do eixo x , o volume do sólido resultante é finito. Mostre que a área da superfície é infinita.
A fórmula 4 é valida apenas quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f x não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície torna-se S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x
Ache a área da superfície do toro no Exercício 63 na seção 6.2