Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

37. 2 x y + π sen ⁡ y = 2 π ,       ( 1 , π / 2 )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

2 x y + π sen ⁡ y = 2 π ,       ( 1 , π / 2 )

2 ( 1 ) ( π / 2 ) + π sen ⁡ ( π / 2   ) = 2 π ,       ( 1 , π / 2 )

π + π ( 1 ) = 2 π

2 π = 2 π

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

2 x y ' + 2 y + y ' π cos ⁡ y = 0

2 x + π cos ⁡ y y ' = - 2 y

y ' = - 2 y 2 x + π cos ⁡ y

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 1 , π / 2 , vale:

y ' = - 2 π / 2 2 ( 1 ) + π cos ⁡ ( π / 2 )

y ' = - π 2 + π ( 0 )

y ' = - π 2

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - π / 2 = - π 2 x - 1

y = - π 2 x + π 2 + π 2

y = - π 2 x + π

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto, agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - π 2 = 2 π x - 1

y = 2 π x - 2 π + π 2

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = - π 2 x + π

b. y = 2 π x - 2 π + π 2

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