Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

28. x y 2 = y 2 - 1 ; x = 1 ; y = 1 ; y = 4

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ y representa uma partição do intervalo [ 1 , 4 ] no eixo y . ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i y = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i y , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i y . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ 1 - ( 1 - w i - 2 ) ] ∆ i y

A altura dos mini retângulos será a função x = 1 (que tá à direita) menos a curva x = 1 - y - 2 (que tá à esquerda).

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

  lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ 1 - ( 1 - w i - 2 ) ] ∆ i y = ∫ 1 4 [ 1 - ( 1 - y - 2 ) ]   d y

Resolvendo...

∫ 1 4 [ 1 - ( 1 - y - 2 ) ]   d y = ∫ 1 4 y - 2   d y

- 1 y 1 4 = ( - 1 4 ) - ( - 1 1 ) = 3 4

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann e deu a mesma coisa :D

Resposta

a)

b) A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ 1 - ( 1 - w i - 2 ) ] ∆ i y

c) A = 3 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide. y = e x ,y = 0 ,x = 0 ,x = 1
Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide. y = 1 / x ,y = 0 ,x = 1 ,x = 2
Calcule o centroide da região limitada pelas curvas y = 2 x e y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , com precisão de três casas decimais. Esboce a região e marque o centroide para ver se sua resposta é razoável.
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. y = 4 ln ⁡ x ,y = x ² ln ⁡ x ²
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. y = e - 0.4 x ,y = 0 ,x = 5