Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

40. f x = x 5 / 3 - 10 x 2 3

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x 5 3 - 10 x 2 3

f ' ( x ) = 5 3 x 2 3 - 10 ⋅ 2 3 x - 1 3

= 5 3 x 2 3 - 20 3 x - 1 3

= 5 x 2 3 3 - 20 3 x 1 3

= 5 x 2 3 ⋅ 3 x 1 3 - 60 9 x 1 3

= 15 x - 60 9 x 1 3

= 5 x - 20 3 x 1 3

= 5 ( x - 4 ) 3 x 1 3

f ' x = 5 ( x - 4 ) 3 x 1 3

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

5 x - 4 3 x 1 3 = 0

Para que a expressão acima seja igual a zero, temos que:

x - 4 = 0

⇒ x = 4

Passo 4

Então achamos o valor de x que é ponto crítico de f , que é x = 4 . Agora vamos ver o valor de f para tal ponto, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = x 5 3 - 10 x 2 3

f 4 = 4 5 3 - 10 ⋅ 4 2 3

= 8 2 3 - 10 ⋅ 2 2 3

= - 12 2 3

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 5 ( x - 4 ) 3 x 1 3

Vemos que para:

x < 0 → f ' x > 0

0 < x < 4 → f ' x < 0

x > 4 → f ' x > 0

Olhando essas avaliações você pode ver que 0 é extremo relativo de f x , pois como f ' ( 0 ) apresenta uma descontinuidade ele é número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de 0 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 0 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de 4 e crescente depois do mesmo, logo f x = - 12 2 3 é ponto mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 4 = - 12 2 3 , f 0 = 0 são extremos relativos.
  2. Em x = 0 , em x = 4 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em - ∞ ,   0 , 4 ,   + ∞
  4. f ( x ) é decrescente em 0 ,   4  
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