Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

29. f x = x + 1 2 3 x - 2 1 3

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x + 1 2 3 x - 2 1 3

f ' x = 2 3 x + 1 - 1 3 x - 2 1 3 + x + 1 2 3 ⋅ 1 3 x - 2 - 2 3

⇒ f ' x = 2 3 x + 1 - 1 3 x - 2 1 3 + 1 3 x + 1 2 3 x - 2 - 2 3

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

2 3 x + 1 - 1 3 x - 2 1 3 + 1 3 x + 1 2 3 x - 2 - 2 3 = 0

⇒ x + 1 - 1 3 x - 2 1 3 + 1 2 x + 1 2 3 x - 2 - 2 3 = 0

Multiplicando os dois lados por x + 1 1 3 :

⇒ x - 2 1 3 + 1 2 ( x + 1 ) x - 2 - 2 3 = 0

Multiplicando os dois lados por x - 2 2 3

⇒ x - 2 + 1 2 x + 1 = 0

⇒ x - 2 + 1 2 x + 1 2 = 0

⇒ 3 2 x = 3 2

⇒ x = 1

Passo 4

Então achamos o valor de x onde ocorre um estremo relativo, que é x = 1 . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = x + 1 2 3 x - 2 1 3

f 1 = 1 + 1 2 3 1 - 2 1 3

= 2 2 3 - 1 1 3

= 4 3 - 1 = - 4 3

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 2 3 x + 1 - 1 3 x - 2 1 3 + 1 3 x + 1 2 3 x - 2 - 2 3

Vemos que para:

x < - 1 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer menor que - 1 .

- 1 < x < 1 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

1 < x → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que 1 .

Olhando essas avaliações você pode ver que - 1 é um extremo relativo de f x , pois como f ' ( - 1 ) não é definido ele é um número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de - 1 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 0 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de 1 e crescente depois do mesmo, logo f x = - 4 3 é ponto mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 1 = - 4 3 e f - 1 = 0 são extremos relativos.
  2. Em x = 1 e em x = - 1 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em - ∞ , - 1 , [ 1 , + ∞ ) .
  4. f ( x ) é decrescente em - 1 ,   1 .
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Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que f seja diferenciável em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.13.Se f for crescente em [ 0 ,2 ] , então f ' 10 .
Use o gráfico da equação y = f ' ( x ) na figura Ex-4 para encontrar os sinais de d y d x e d 2 y d x 2 nos pontos A, B e C.
Use o gráfico da equação y = f ( x ) na figura abaixo para encontrar os sinais de d y d x e d 2 y d x 2 nos pontos A, B e C.
Use o gráfico de f ' ( x ) na figura seguir para substituir a interrogação por , = ou , conforme apropriado. Explique seu raciocínio.(a) f 0 ? f ( 1 ) (b) f 1 ? f ( 2 ) (c) f ' 0 ? 0 (d) f ' 1 ? 0 (e)
Em cada parte, use o gráfico de y = f ( x ) na figura abaixo para encontrar a informação requisitada.(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente.(b) Encontre os intervalos nos quais f é decresc