Enunciado

Nos exercícios 41 e 42, faça um esboço do gráfico de f , determinando primeiro os extremos relativos de f e as assíntotas horizontais do gráfico, se existirem.

41. f x = x 1 x ,   x > 0

Passo 1

Se esboçarmos o gráfico de f x = x 1 x , teremos algo desse tipo:

Para descobrirmos os extremos relativos de f , termos que utilizar o raciocínio de máximos e mínimos! O racícionio consiste em derivarmos f ( x ) e igualarmos a zero para analisar seus pontos críticos. Tá confuso? Prometo que não é tão difícil assim, bora lá! Antes de derivarmos, vamos escrever f ( x ) de uma forma que nos possibilite derivar, se liga:

Aplicando l n em ambos os lados da função, teremos:

ln ⁡ f x = ln ⁡ x 1 x

∴ f x = e ln ⁡ x x

Passo 2

Agora que temos uma função mais tranquila de ser derivada, derivando-a teremos:

f ' x = e ln ⁡ x x . 1 - ln ⁡ x x 2 = x 1 x . 1 - ln ⁡ x x 2

Se igualarmos essa função a zero, notaremos que f ' x = 0 quando x = e . Sendo assim, se substituirmos esse ponto crítico na função original, teremos:

f e = e 1 e

Que é exatamente o extremo relativo que procurávamos.

Passo 3

Para determinarmos as assíntotas horizontais da função, basta aplicarmos o limite da função tendendo ao infinito, se liga:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f x = l i m x → ∞ 1 x ln ⁡ x

Aplicando a regra de L’Hôspital, teremos:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Como utilizarmos a função com logaritmo, então:

lim x → ∞ ⁡ f x = 1

Sendo assim, y = 1 é uma assíntota horizontal.

Resposta

f e = e 1 e

y = 1

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