Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.

9. Parte da esfera F = x^2i^ - 2xyj^ + 3xzk^

D: A região cortada do primeiro octante pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse exercicio é bastante semelhante ao anterior, você terá que encontrar a divergência, mas primeiro precisamos encontrar a derivada parcial de cada uma das componentes e depois você coloca no teorema da divergência para calcular o fluxo:

∂ x 2 ∂ x = 2 x

∂ - 2 x y ∂ y = - 2 x

∂ 3 x z ∂ z = 3 x

Será necessaŕio passar para coordendas esféricas para facilitar as contas

Passo 2

Para calcular o fluxo utilizamos o teorema da divergência:

∫ ∫ ∫ D 3 x d x d y d z

Precisaremos mudar para coordenadas esféricas:

∫ ∫ ∫ D 3 x d x d y d z = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 3 ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ ∫ ∫ D 3 x d x d y d z = ∫ 0 π 2 3 π cos ⁡ θ d θ = 3 π

Resposta

3 π

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